Якщо йти за визначенням, то похідна функції в точці - це границя відношення приросту функції Δ y до приросту аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x. Якщо все робити за визначенням, то через пару сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші й ефективніші способи.

Для початку зауважимо, що з усього різноманіття функцій можна виділити так звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені і занесені в таблицю. Такі функції досить просто запам'ятати - разом з їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції - це все, що перераховано нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше що завчити їх зовсім нескладно - на те вони і елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	функція	похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь з раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
синус	f(x) \u003d Sin x	cos x
косинус	f(x) \u003d Cos x	- sin x (Мінус синус)
тангенс	f(x) \u003d Tg x	1 / cos 2 x
котангенс	f(x) \u003d Ctg x	- 1 / sin 2 x
натуральний логарифм	f(x) \u003d Ln x	1/x
довільний логарифм	f(x) \u003d Log a x	1/(x · ln a)
показова функція	f(x) = e x	e x (нічого не змінилося)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції теж легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом, константи можна виносити за знак похідної. наприклад:

(2x 3) '\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати один з одним, множити, ділити - і багато іншого. Так з'являться нові функції, вже не особливо елементарні, але теж диференціюються за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми і різниці

Нехай дано функції f(x) і g(x), Похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, які розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми і різниці цих функцій:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі не існує поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − g можна переписати як суму f + (-1) · g, І тоді залишиться лише одна формула - похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2) '+ (sin x)’ = 2x + Cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там вже три доданків (з точки зору алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

відповідь:
f ’(x) = 2x + Cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

похідна твори

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"\u003e Дорівнює добутку похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула нескладна, але її часто забувають. І не тільки школярі, а й студенти. Результат - неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функцій: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) · e x .

функція f(x) Являє собою добуток двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3) '· cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (- sin x) = x 2 · (3cos x − x · sin x)

У функції g(x) Перший множник трохи складніша, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) Являє собою многочлен, і його похідна - це похідна суми. маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) · e x)’ = (x 2 + 7x - 7) '· e x + (x 2 + 7x - 7) · ( e x)’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x - 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x .

відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому кроці похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, однак більшість похідних обчислюються не самі по собі, а щоб дослідити функцію. А значить, далі похідна буде прирівнюватися до нуля, будуть з'ясовуватися її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладене на множники.

Якщо є дві функції f(x) і g(x), Причому g(x) ≠ 0 на який нас цікавить безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції теж можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? чому g 2? А ось так! Це одна з найскладніших формул - без пляшки не розберешся. Тому краще вивчати її на конкретних прикладах.

Завдання. Знайти похідні функцій:

У чисельнику і знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно - це формула похідної приватного:

За традицією, розкладемо чисельник на множники - це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула довжиною в півкілометра. Наприклад, досить взяти функцію f(x) \u003d Sin x і замінити змінну x, Скажімо, на x 2 + ln x. вийде f(x) \u003d Sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. У неї теж є похідна, однак знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t ', Якщо x замінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справи ще більш сумно, ніж з похідною приватного. Тому її теж краще пояснити на конкретних прикладах, з докладним описом кожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функцій: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) \u003d Sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо в функції f(x) Замість виразу 2 x + 3 буде просто x, То вийде елементарна функція f(x) = e x . Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t . Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер - увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x + 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 \u003d 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося з функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t '\u003d (Sin t)’ · t '\u003d Cos t · t ’

Зворотній заміна: t = x 2 + ln x. тоді:

g ’(x) \u003d Cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '\u003d Cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як видно з останнього виразу, вся задача звелася до обчислення похідної суми.

відповідь:
f ’(x) \u003d 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · Cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміна «похідна» я використовую слово «штрих». Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення від цих самих штрихів за правилами, розглянутим вище. Як останній приклад повернемося до похідної ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі n цілком може виступати дробове число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, якщо під коренем буде стояти щось неймовірне? Знову вийде складна функція - такі конструкції люблять давати на контрольних роботах та іспитах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) '· t '\u003d 0,5 · t -0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x - 7. Маємо:

f ’(x) \u003d 0,5 · ( x 2 + 8x - 7) -0,5 · ( x 2 + 8x - 7) '\u003d 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємося до коренів:

При вирішенні різних завдань геометрії, механіки, фізики та інших галузей знання виникла необхідність за допомогою одного і того ж аналітичного процесу з даної функції y \u003d f (x) отримувати нову функцію, яку називають похідною функцією (або просто похідною) даної функції f (x) і позначають символом

Той процес, за допомогою якого з даної функції f (x) отримують нову функцію f "(x), називають дифференцированием і складається він з наступних трьох етапів: 1) даємо аргументу x приріст  x і визначаємо відповідне прирощення функції  y \u003d f (x + x) -f (x); 2) складаємо ставлення

3) вважаючи x постійним, а  x 0, знаходимо
, Який позначаємо через f "(x), Як би підкреслюючи тим самим, що отримана функція залежить лише від того значення x, При якому ми переходимо до межі. визначення: Похідною y "\u003d f" (x) даної функції y \u003d f (x) при даному x називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, якщо, звичайно, ця межа існує, тобто кінцевий. Таким чином,
, або

Зауважимо, що якщо при деякому значенні x, Наприклад при x \u003d a, ставлення
при  x0 не прагне до кінцевого межі, то в цьому випадку говорять, що функція f (x) при x \u003d a (Або в точці x \u003d a) Не має похідної або НЕ дифференцируема в точці x \u003d a.

2. Геометричний зміст похідної.

Розглянемо графік функції у \u003d f (х), що диференціюється в околицях точки x 0

f (x)

Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку графіка функції - точку А (x 0, f (х 0)) і перетинає графік в деякій точці B (x; f (x)). Така пряма (АВ) називається січною. З ΔАВС: АС \u003d Δx; ВС \u003d Δу; tgβ \u003d Δy / Δx.

Так як АС || Ox, то ALO \u003d BAC \u003d β (як відповідні при паралельних). Але ALO - це кут нахилу січної АВ до позитивного напрямку осі Ох. Значить, tgβ \u003d k - кутовий коефіцієнт прямої АВ.

Тепер будемо зменшувати Δх, тобто Δх → 0. При цьому точка В буде наближатися до точки А за графіком, а січна АВ буде повертатися. Граничним становищем січної АВ при Δх → 0 буде пряма (a), звана дотичної до графіка функції у \u003d f (х) в точці А.

Якщо перейти до межі при Δх → 0 в рівності tgβ \u003d Δy / Δx, то отримаємо
іліtg \u003d f "(x 0), так як
-кут нахилу дотичній до позитивного напрямку осі Ох
, За визначенням похідної. Але tg \u003d k - кутовий коефіцієнт дотичної, значить, k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Отже, геометричний зміст похідної полягає в наступному:

Похідна функції в точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції, проведеної в точці з абсцисою x 0 .

3. Фізичний зміст похідної.

Розглянемо рух точки по прямій. Нехай задана координата точки в будь-який момент часу x (t). Відомо (з курсу фізики), що середня швидкість за проміжок часу дорівнює відношенню відстані, пройденого за цей проміжок часу, на час, тобто

Vср \u003d Δx / Δt. Перейдемо до межі в останній рівності при Δt → 0.

lim Vср (t) \u003d  (t 0) - миттєва швидкість в момент часу t 0, Δt → 0.

а lim \u003d Δx / Δt \u003d x "(t 0) (за визначенням похідної).

Отже,  (t) \u003d x "(t).

Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функціїy = f(x) В точціx 0 - це швидкість зміни функціїf (Х) в точціx 0

Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості по відомій функції координати від часу, прискорення за відомою функції швидкості від часу.

 (t) \u003d x "(t) - швидкість,

a (f) \u003d  "(t) - прискорення, або

Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість і кутове прискорення при обертальному русі:

φ \u003d φ (t) - зміна кута від часу,

ω \u003d φ "(t) - кутова швидкість,

ε \u003d φ "(t) - кутове прискорення, або ε \u003d φ" (t).

Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, то можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня:

m \u003d m (х) - маса,

x , l - довжина стрижня,

р \u003d m "(х) - лінійна щільність.

За допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності і гармонійних коливань. Так, згідно із законом Гука

F \u003d -kx, x - змінна координата, k- коефіцієнт пружності пружини. Поклавши ω 2 \u003d k / m, отримаємо диференціальне рівняння пружинного маятника х "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

де ω \u003d √k / √m частота коливань (l / c), k - жорсткість пружини (H / m).

Рівняння виду у "+ ω 2 y \u003d 0 називається рівнянням гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних). Рішенням таких рівнянь є функція

у \u003d Asin (ωt + φ 0) або у \u003d Acos (ωt + φ 0), де

А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота,

φ 0 - початкова фаза.

Коли людина зробила перші самостійні кроки у вивченні математичного аналізу і починає ставити незручні запитання, то вже не так-то просто звільнитися фразою, що «диференціальне числення знайдено в капусті». Тому настав час набратися рішучості і розкрити таємницю появи на світло таблиці похідних та правил диференціювання. Початок покладено в статті про сенс похідною, Яку я настійно рекомендую до вивчення, оскільки там ми як раз розглянули поняття похідною і почали клацати завдання по темі. Цей же урок носить яскраво виражену практичну спрямованість, більш того,

розглядаються нижче приклади, в принципі, можна освоїти і чисто формально (Наприклад, коли немає часу / бажання вникати в суть похідною). Також вкрай бажано (але знову не обов'язково) вміти знаходити похідні «звичайним» методом - хоча б на рівні двох базових занять:Як знайти похідну? і Похідна складної функції.

Але без чого-чого зараз точно не обійтися, так це без меж функцій. Ви повинні РОЗУМІТИ, що таке межа і вміти вирішувати їх, як мінімум, на середньому рівні. А все тому, що похідна

функції в точці визначається формулою:

Нагадую позначення і терміни: називають приростом аргументу;

- збільшенням функції;

- це ЄДИНІ символи ( «дельту» не можна «відривати» від «ікси» або «Ігрек»).

Очевидно, що є «динамічною» змінної, - константою і результат обчислення границі - числом (Іноді - «плюс» або «мінус» нескінченністю).

В якості точки можна розглянути БУДЬ значення, що належить області визначенняфункції, в якому існує похідна.

Примітка: застереження «в якому існує похідна» - в загальному випадку істотна! Так, наприклад, точка хоч і входить в область визначення функції, але похідною

Там не існує. Тому формула

Не може бути застосована в точці,

і укорочена формулювання без застереження буде некоректна. Аналогічні факти справедливі і для інших функцій з «обривами» графіка, зокрема, для арксинуса і арккосинуса.

Таким чином, після заміни, отримуємо другу робочу формулу:

Зверніть увагу на підступне обставина, яка може заплутати чайника: в даному межі «ікс», будучи сам незалежної змінної, виконує роль статиста, а «динаміку» задає знову ж приріст. Результатом обчислення границі

є похідна функція.

Виходячи з вищесказаного, сформулюємо умови двох типових задач:

- Знайти похідну в точці, Використовуючи визначення похідної.

- Знайти похідну функцію, Використовуючи визначення похідної. Ця версія, за моїми спостереженнями, зустрічається значно частіше і їй буде приділено основну увагу.

Принципова відмінність завдань полягає в тому, що в першому випадку потрібно знайти число (Як варіант, нескінченність), А в другому -

функцію. Крім того, похідною може і зовсім не існувати.

Як?

Скласти ставлення і обчислити межа.

Звідки з'явиласятаблиця похідних і правила диференціювання ? Завдяки єдиному межі

Здається чарами, але в

насправді - спритність рук і ніякого шахрайства. На уроці Що таке похідна?я почав розглядати конкретні приклади, де за допомогою визначення знайшов похідні лінійної і квадратичної функції. З метою пізнавальної розминки продовжимо турбувати таблицю похідних, Відточуючи алгоритм і технічні прийоми рішення:

По суті, потрібно довести окремий випадок похідною статечної функції, який зазвичай фігурує в таблиці:.

Рішення технічно оформляється двома способами. Почнемо з першого, вже знайомого підходу: драбинка починається з дощечки, а похідна функція - з похідною в точці.

Розглянемо деяку (конкретну) точку, що належить області визначенняфункції, в якій існує похідна. Задамо в даній точці приріст (Зрозуміло, що не виходить за рамкио / о -я) і складемо відповідне прирощення функції:

Обчислимо межа:

Невизначеність 0: 0 усувається стандартним прийомом, розглянутим ще в першому столітті до нашої ери. Домножим

чисельник і знаменник на поєднане вираз :

Техніка рішення такої межі докладно розглянута на вступному уроці про межах функцій.

Оскільки в якості можна вибрати БУДЬ-ЯКУ точку інтервалу

Те, здійснивши заміну, отримуємо:

Вкотре порадіємо логарифмам:

Знайти похідну функції, користуючись визначенням похідної

Рішення: розглянемо інший підхід до розкручування тієї ж завдання. Він точно такий же, але більш раціональний з точки зору оформлення. Ідея полягає в тому, щоб на початку рішення позбутися від

підрядкового індексу і замість букви використовувати букву.

Розглянемо довільну точку, що належить області визначенняфункції (інтервалу), і поставимо в ній приріст. А ось тут, до речі, як і в більшості випадків, можна обійтися без будь-яких застережень, оскільки логарифмічна функція диференційована в будь-якій точці області визначення.

Тоді відповідне прирощення функції:

Знайдемо похідну:

Простота оформлення врівноважується плутаниною, яка може

виникнути у початківців (та й не тільки). Адже ми звикли, що в межі змінюється літера «ікс»! Але тут все по-іншому: - антична статуя, а - живий відвідувач, бадьоро крокує по коридору музею. Тобто «ікс» - це «як би константа».

Усунення невизначеності закоментуйте покроково:

(1) Використовуємо властивість логарифма.

(2) У дужках почленно ділимо чисельник на знаменник.

(3) У знаменнику штучно домножаем і ділимо на «ікс» щоб

скористатися чудовим межею , При цьому в якості нескінченно малої величинивиступає.

Відповідь: за визначенням похідної:

Або скорочено:

Пропоную самостійно сконструювати ще дві табличні формули:

Знайти похідну по визначенню

В даному випадку складене приріст відразу ж зручно привести до спільного знаменника. Зразок оформлення завдання в кінці уроку (перший спосіб).

Знайти похідну по визначенню

А тут все необхідно звести до чудового межі. Рішення оформлено другим способом.

Аналогічно виводиться ряд інших табличних похідних. Повний список можна знайти в шкільному підручнику, або, наприклад, 1-му томі Фіхтенгольца. Не бачу особливого сенсу переписувати з книг і докази правил диференціювання - вони теж породжені

формулою.

Переходимо до реально зустрічається завданням: Приклад 5

Знайти похідну функції , Використовуючи визначення похідної

Рішення: використовуємо перший стиль оформлення. Розглянемо деяку точку, що належить, і поставимо в ній приріст аргументу. Тоді відповідне прирощення функції:

Можливо, деякі читачі ще не до кінця зрозуміли принцип, за яким потрібно складати приріст. Беремо точку (число) і знаходимо в ній значення функції: , Тобто в функцію

замість «ікси» слід підставити. тепер беремо

Складений приріст функції буває вигідно відразу ж спростити. Навіщо? Полегшити і вкоротити рішення подальшого межі.

Використовуємо формули, розкриваємо дужки і скорочуємо все, що можна скоротити:

Індичка випотрошена, з спекотне ніяких проблем:

В підсумку:

Оскільки в якості можна вибрати будь-яке дійсне число, то проведемо заміну і отримаємо .

відповідь: за визначенням.

З метою перевірки знайдемо похідну за допомогою правил

диференціювання і таблиці:

Завжди корисно і приємно знати правильну відповідь заздалегідь, тому краще подумки або на чернетці продифференцировать запропоновану функцію «швидким» способом на самому початку рішення.

Знайти похідну функції по визначенню похідною

Це приклад для самостійного рішення. Результат лежить на поверхні:

Повернемося до стилю №2: Приклад 7

Давайте негайно дізнаємося, що повинно вийти. за правилом диференціювання складної функції:

Рішення: розглянемо довільну точку, що належить, задамо в ній приріст аргументу і складемо приріст

Знайдемо похідну:

(1) Використовуємо тригонометричну формулу

(2) Під синусом розкриваємо дужки, під косинусом наводимо подібні доданки.

(3) Під синусом скорочуємо складові, під косинусом почленно ділимо чисельник на знаменник.

(4) В силу непарності синуса виносимо «мінус». під косинусом

вказуємо, що доданок.

(5) В знаменнику проводимо штучне домноженіе, щоб використовувати перший чудовий межа. Таким чином, невизначеність усунуто, зачісуватися результат.

Відповідь: за визначенням Як бачите, основні труднощі даної задачі впирається в

складність самої межі + невелике своєрідність упаковки. На практиці зустрічаються і той і інший спосіб оформлення, тому я максимально докладно розписую обидва підходи. Вони рівноцінні, але все-таки, на мою суб'єктивну враженню, чайникам доцільніше дотримуватися 1-го варіанту з «ікс нульовим».

Користуючись визначенням, знайти похідну функції

Це завдання для самостійного рішення. Зразок оформлений в тому ж дусі, що попередній приклад.

Розберемо більш рідкісну версію завдання:

Знайти похідну функції в точці, користуючись визначенням похідної.

По-перше, що повинно вийти в сухому залишку? Число Обчислимо відповідь стандартним способом:

Рішення: з точки зору наочності це завдання значно простіше, так як у формулі замість

розглядається конкретне значення.

Задамо в точці приріст і складемо відповідне прирощення функції:

Обчислимо похідну в точці:

Використовуємо вельми рідкісну формулу різниці тангенсів і в який раз зведемо рішення до першого

чудовому межі:

Відповідь: за визначенням похідної в точці.

Завдання не так важко вирішити і «в загальному вигляді» - досить замінити на або просто в залежності від способу оформлення. В цьому випадку, зрозуміло, це не є число, а похідна функція.

Приклад 10 Використовуючи визначення, знайти похідну функції в точці

Це приклад для самостійного рішення.

Заключна бонус-завдання призначена, перш за все, для студентів з поглибленим вивченням математичного аналізу, але і всім іншим теж не завадить:

Чи буде диференційована функція в точці?

Рішення: очевидно, що кусочно-задана функція неперервна в точці, але чи буде вона там дифференцируема?

Алгоритм рішення, причому не тільки для шматкові функцій, такий:

1) Знаходимо лівосторонній похідну в цій точці:.

2) Знаходимо правостороннім похідну в цій точці:.

3) Якщо односторонні похідні кінцеві і збігаються:

, То функція диференційована в точці і

геометрично тут існує загальна дотична (див. теоретичну частину уроку Визначення і зміст похідної).

Якщо отримані два різних значення: (Одне з яких може виявитися і нескінченним), То функції не диференційована в точці.

Якщо ж обидві односторонні похідні рівні нескінченності

(Нехай навіть різних знаків), то функції не

диференційована в точці, але там існує нескінченна похідна і загальна вертикальна дотична до графіка (Див. Приклад 5 урокурівняння нормалі) .

Примітка: таким чином, між питаннями «Чи буде диференційована функція в точці?» і «Чи існує похідна в точці?» є різниця!

Все дуже просто!

1) При знаходженні лівосторонньої похідною приріст аргументу негативно:, а зліва від точки розташована парабола, тому приріст функції одно:

І відповідний лівобічний межа чисельно дорівнює лівосторонньої похідною в даній точці:

2) Праворуч від точки знаходиться графік прямої і приріст аргументу позитивно:. Таким чином, приріст функції:

Правобічний межу і правобічна похідна в точці:

3) Односторонні похідні кінцеві і різні:

Відповідь: Функція не диференційована в точці.

Ще легше доводиться книжковий випадок недіфференціруемого модуля в точці, про який я в загальних рисах вже розповів на теоретичному уроці про похідну.

Деякі кусочно-задані функції мають похідні і в точках «стику» графіка, наприклад, Кітпес

має загальну похідною і загальної дотичній (вісь абсцис) в точці. Кривий, так диференційовних на! Бажаючі можуть переконатися в цьому самостійно за зразком щойно вирішене приклад.

На цьому смішному гібриді і закінчимо розповідь \u003d) Рішення і відповіді:

Приклад 3: Рішення: розглянемо деяку точку, що належить області визначення функції. задамо в

даній точці приріст і складемо відповідне прирощення функції:

Знайдемо похідну в точці:

Так як в якості можна вибрати будь-яку точку області визначення функції, то і

Відповідь: за визначенням похідної

Приклад 4: Рішення: розглянемо довільну точку, що належить, і поставимо в ній приріст. Тоді відповідне прирощення функції:

Знайдемо похідну:

Використовуємо чудовий межа

Відповідь: за визначенням

Приклад 6: Рішення: розглянемо деяку точку, що належить, і поставимо в ній приріст аргументу. Тоді відповідне прирощення функції:

відповідь: за визначенням

Приклад 10: Рішення: Задамо приріст в точці. Тоді приріст функції:

Обчислимо похідну в точці:

Помножимо чисельник і знаменник на поєднане вираз:

Відповідь: за визначенням похідної в точці

Похідна функції - одна зі складних тем в шкільній програмі. Не кожен випускник відповість на питання, що таке похідна.

У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути до математичної строгості викладу. Найголовніше - зрозуміти сенс.

Запам'ятаємо визначення:

Похідна - це швидкість зміни функції.

На малюнку - графіки трьох функцій. Як ви думаєте, яка з них швидше росте?

Відповідь очевидна - третя. У неї найбільша швидкість зміни, тобто найбільша похідна.

Ось ще один приклад.

Костя, Гриша і Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:

На графіку відразу все видно, чи не так? Дохід Кістки за півроку виріс більше ніж в два рази. І у Гриші дохід теж виріс, але зовсім трохи. А дохід Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - різна. Що стосується Матвія - у його доходу похідна взагалі негативна.

Інтуїтивно ми без праці оцінюємо швидкість зміни функції. Але як же це робимо?

Насправді ми дивимося, наскільки круто йде вгору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що одна і та ж функція в різних точках може мати різне значення похідної - тобто може змінюватися швидше або повільніше.

Похідна функції позначається.

Покажемо, як знайти за допомогою графіка.

Намальований графік деякої функції. Візьмемо на ньому точку з абсцисою. Проведемо в цій точці дотичну до графіка функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього - тангенс кута нахилу дотичної.

Похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці.

Зверніть увагу - в якості кута нахилу дотичній ми беремо кут між дотичній і позитивним напрямом осі.

Іноді учні запитують, що таке дотична до графіка функції. Це пряма, має на даній ділянці єдину спільну точку з графіком, причому так, як показано на нашому малюнку. Схоже на дотичну до кола.

Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:

Ми знайшли похідну за допомогою графіка, навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.

Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням

Величина в цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.

.

Ми отримуємо, що

Запам'ятаємо цю формулу. Вона висловлює геометричний зміст похідної.

Похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці.

Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичній.

Ми вже сказали, що у однієї і тієї ж функції в різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як же пов'язана похідна з поведінкою функції.

Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших - зменшується, причому з різною швидкістю. І нехай у цій функції будуть точки максимуму і мінімуму.

У точці функція зростає. Дотична до графіка, проведена в точці, утворює гострий кут з позитивним напрямом осі. Значить, в точці похідна позитивна.

У точці наша функція спадає. Дотична в цій точці утворює тупий кут з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута від'ємний, в точці похідна негативна.

Ось що виходить:

Якщо функція зростає, її похідна позитивна.

Якщо убуває, її похідна негативна.

А що ж буде в точках максимуму і мінімуму? Ми бачимо, що в точках (точка максимуму) і (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках дорівнює нулю, і похідна теж дорівнює нулю.

Точка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється спадання. Отже, знак похідної змінюється в точці з «плюса» на «мінус».

У точці - точці мінімуму - похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з «мінуса» на «плюс».

Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції все, що нас цікавить.

Якщо похідна позитивна, то функція зростає.

Якщо похідна негативна, то функція спадає.

У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак з «плюса» на «мінус».

У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з «мінуса» на «плюс».

Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:

	зростає	точка максимуму	убуває	точка мінімуму	зростає
+	0	-	0	+

Зробимо два невеликих уточнення. Одне з них знадобиться вам при вирішенні завдань ЄДІ. Інше - на першому курсі, при більш серйозному вивченні функцій і похідних.

Можливий випадок, коли похідна функції в будь-якій точці дорівнює нулю, але ні максимуму, ні мінімуму у функції в цій точці немає. Це так звана :

У точці дотична до графіка горизонтальна, і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала - і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється - вона як була позитивною, так і залишилася.

Буває і так, що в точці максимуму або мінімуму похідна не існує. На графіку це відповідає різкого зламу, коли дотичну в даній точці провести неможливо.

А як знайти похідну, якщо функція задається не графіком, а формулою? У цьому випадку застосовується

(\\ Large \\ bf Похідна функції)

Розглянемо функцію y \u003d f (x), Задану на інтервалі (A, b). нехай x - будь-який фіксована точка інтервалу (A, b), а Δx - довільне число, таке, що значення x + Δx також належить інтервалу (A, b). це число Δx називають приростом аргументу.

визначення. приростом функції y \u003d f (x) в точці x, Відповідним приросту аргументу Δx, Назвемо число

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x).

Вважаємо, що Δx ≠ 0. Розглянемо в даній фіксованій точці x відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу Δx

Це відношення будемо називати різницевим відношенням. Так як значення x ми вважаємо фіксованим, разностное відношення являє собою функцію аргументу Δx. Ця функція визначена для всіх значень аргументу Δx, Що належать деякій досить малій околиці точки Δx \u003d 0, За винятком самої точки Δx \u003d 0. Таким чином, ми маємо право розглядати питання про існування межі зазначеної функції при Δx → 0.

визначення. похідної функції y \u003d f (x) в даній фіксованій точці x називається межа при Δx → 0 разностного відносини, тобто

За умови, що ця межа існує.

позначення. y '(x) або f '(x).

Геометричний зміст похідної: Похідна від функції f (x) в даній точці x дорівнює тангенсу кута між віссю Ox і дотичної до графіка цієї функції у відповідній точці:

f '(x 0) \u003d \\ tgα.

Механічний зміст похідної: Похідна від шляху за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху точки:

Рівняння дотичної до лінії y \u003d f (x) в точці M 0 (x 0, y 0) набирає вигляду

y-y 0 \u003d f '(x 0) (x-x 0).

Нормаллю до кривої в деякій її точці називається перпендикуляр до дотичної в тій же точці. якщо f '(x 0) ≠ 0, То рівняння нормалі до лінії y \u003d f (x) в точці M 0 (x 0, y 0) записується так:

Поняття диференційованої функції

нехай функція y \u003d f (x) визначена на деякому інтервалі (A, b), x - деяке фіксоване значення аргументу з цього інтервалу, Δx - будь-який приріст аргументу, таке, що значення аргументу x + Δx ∈ (a, b).

визначення. функція y \u003d f (x) називається диференційованою в цій точці x, Якщо приріст Δy цієї функції в точці x, Відповідне приросту аргументу Δx, Може бути представимо у вигляді

Δy \u003d A Δx + αΔx,

де A - деяке число, яке залежить від Δx, а α - функція аргументу Δx, Що являє нескінченно малої при Δx → 0.

Так як твір двох нескінченно малих функцій αΔx є нескінченно малою вищого порядку, ніж Δx (Властивість 3 нескінченно малих функцій), то можемо записати:

Δy \u003d A Δx + o (Δx).

теорема. Для того, щоб функція y \u003d f (x) була диференційованою в цій точці x, Необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну. При цьому A \u003d f '(x), тобто

Δy \u003d f '(x) Δx + o (Δx).

Операцію знаходження похідної зазвичай називають диференціюванням.

теорема. якщо функція y \u003d f (x) x, То вона неперервна в цій точці.

зауваження. З безперервності функції y \u003d f (x) в даній точці x, Взагалі кажучи, не випливає дифференцируемость функції f (x) в цій точці. Наприклад, функція y \u003d | x | - неперервна в точці x \u003d 0, Але не має похідної.

Поняття диференціала функції

визначення. диференціалом функції y \u003d f (x) називається твір похідною цієї функції на приріст незалежної змінної x:

dy \u003d y 'Δx, df (x) \u003d f' (x) Δx.

для функції y \u003d x отримуємо dy \u003d dx \u003d x'Δx \u003d 1 · Δx \u003d Δx, тобто dx \u003d Δx - диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної.

Таким чином, можемо записати

dy \u003d y 'dx, df (x) \u003d f' (x) dx

диференціал dy і приріст Δy функції y \u003d f (x) в даній точці x, Обидва відповідають одному і тому ж приросту аргументу Δx, Взагалі кажучи, не рівні один одному.

Геометричний сенс диференціала: Диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка даної функції, коли аргумент бере зріст Δx.

Правила диференціювання

теорема. Якщо кожна з функцій u (x) і v (x) диференційована в цій точці x, То сума, різниця, добуток і частку цих функцій (приватне за умови, що v (x) ≠ 0) Також мають похідні в цій точці, причому мають місце формули:

Розглянемо складну функцію y \u003d f (φ (x)) ≡ F (x), де y \u003d f (u), u \u003d φ (x). В цьому випадку u називають проміжним аргументом, x - незалежної змінної.

теорема. якщо y \u003d f (u) і u \u003d φ (x) - диференціюються своїх аргументів, то похідна складної функції y \u003d f (φ (x)) існує і дорівнює добутку цієї функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу по незалежній змінній, тобто

зауваження. Для складної функції, що є суперпозицією трьох функцій y \u003d F (f (φ (x))), Правило диференціювання має вигляд

y 'x \u003d y' u u 'v v' x,

де функції v \u003d φ (x), u \u003d f (v) і y \u003d F (u) - диференціюються своїх аргументів.

теорема. нехай функція y \u003d f (x) зростає (або убуває) і неперервна в деякому околі точки x 0. Нехай, крім того, ця функція диференційована в зазначеній точці x 0 і її похідна в цій точці f '(x 0) ≠ 0. Тоді в деякому околі відповідної точки y 0 \u003d f (x 0) визначена зворотна для y \u003d f (x) функція x \u003d f -1 (y), Причому зазначена зворотна функція диференційована в відповідній точці y 0 \u003d f (x 0) і для її похідної в цій точці y справедлива формула

Таблиця похідних

Інваріантність форми першого диференціала

Розглянемо диференціал складної функції. якщо y \u003d f (x), x \u003d φ (t) - діфференцируєми функції своїх аргументів, то похідна функції y \u003d f (φ (t)) виражається формулою

y 't \u003d y' x x 't.

За визначенням dy \u003d y 't dt, Тоді отримаємо

dy \u003d y 't dt \u003d y' x · x 't dt \u003d y' x (x 't dt) \u003d y' x dx,

dy \u003d y 'x dx.

Отже, довели,

Властивість інваріантності форми першого диференціала функції: Як у разі, коли аргумент x є незалежною змінною, так і в разі, коли аргумент x сам є дифференцируемой функцією нової змінної, диференціал dy функції y \u003d f (x) дорівнює похідною цієї функції, помноженої на диференціал аргументу dx.

Застосування диференціала в наближених обчисленнях

Ми показали, що диференціал dy функції y \u003d f (x), Взагалі кажучи, не дорівнює збільшенню Δy цієї функції. Проте з точністю до нескінченно малої функції вищого порядку малості, ніж Δx, Справедливо наближене рівність

Δy ≈ dy.

Ставлення називають відносною похибкою рівності цієї рівності. Так як Δy-dy \u003d o (Δx), То відносна похибка даного рівності стає як завгодно малою при зменшенні | Δх |.

Враховуючи що Δy \u003d f (x + δ x) -f (x), dy \u003d f '(x) Δx, отримаємо f (x + δ x) -f (x) ≈ f '(x) Δx або

f (x + δ x) ≈ f (x) + f '(x) Δx.

Це наближена рівність дозволяє з помилкою o (Δx) замінити функцію f (x) в малій околиці точки x (Тобто для малих значень Δx) Лінійною функцією аргументу Δx, Що стоїть в правій частині.

Похідні вищих порядків

визначення. Другий похідною (або похідною другого порядку) функції y \u003d f (x) називається похідна від її першої похідної.

Позначення другої похідної функції y \u003d f (x):

Механічний сенс другої похідної. якщо функція y \u003d f (x) описує закон руху матеріальної точки по прямій лінії, то друга похідна f "(x) дорівнює прискоренню рухається точки в момент часу x.

Аналогічно визначається третя, четверта похідна.

визначення. n-й похідної (або похідною n-го порядку) функції y \u003d f (x) називається похідна від її n-1-й похідної:

y (n) \u003d (y (n-1)) ', f (n) (x) \u003d (f (n-1) (x))'.

позначення: y " ', y IV, y V і т.д.